다음을 풀어보세요: 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=2$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 5x^{2}+ax+bx-16(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -80을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

이 해답은 합계 -2이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-10 b=8$$

5x^{2}-2x-16을(를) \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

첫 번째 그룹 및 8에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-2을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-2=0을 해결 하 고, 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -2을(를) b로, -16을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -16을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

4을(를) 320에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

324의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

-2의 반대는 2입니다.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{2±18}{10}을(를) 풉니다. 2을(를) 18에 추가합니다.

$$x=\frac{20}{10}$$

20을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{2±18}{10}을(를) 풉니다. 2에서 18을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{10}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-16}{10}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{8}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

수식의 양쪽에 16을(를) 더합니다.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

자신에서 -16을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

0에서 -16을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-2x=16$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{2}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{16}{5}을(를) \frac{1}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{5}을(를) 더합니다.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$