다음을 풀어보세요: 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

t에 대한 해

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15.769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1.369714114$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -72을(를) b로, -108을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-72을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -108을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

5184을(를) 2160에 추가합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

7344의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

-72의 반대는 72입니다.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}을(를) 풉니다. 72을(를) 12\sqrt{51}에 추가합니다.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

72+12\sqrt{51}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}을(를) 풉니다. 72에서 12\sqrt{51}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

72-12\sqrt{51}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

수식의 양쪽에 108을(를) 더합니다.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

자신에서 -108을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

0에서 -108을(를) 뺍니다.

$$5t^{2}-72t=108$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{72}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{36}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{36}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{36}{5}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{108}{5}을(를) \frac{1296}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

인수 t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{36}{5}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$