다음을 풀어보세요: 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2.885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0.485229955$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -12을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

144을(를) 140에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

284의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}을(를) 풉니다. 12을(를) 2\sqrt{71}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

12+2\sqrt{71}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}을(를) 풉니다. 12에서 2\sqrt{71}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

12-2\sqrt{71}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

수식의 양쪽에 7을(를) 더합니다.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

자신에서 -7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

0에서 -7을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-12x=7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

x 항의 계수인 -\frac{12}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{6}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{6}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{6}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{5}을(를) \frac{36}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

인수 x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

수식의 양쪽에 \frac{6}{5}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$