다음을 풀어보세요: 5a^2+6a=18

$$5 { a }^{ 2 } +6a = 18$$

a에 대한 해

$$a = \frac{3 \sqrt{11} - 3}{5} \approx 1.389974874$$

$$a=\frac{-3\sqrt{11}-3}{5}\approx -2.589974874$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$5a^{2}+6a=18$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$5a^{2}+6a-18=18-18$$

자신에서 18을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$5a^{2}+6a-18=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, 6을(를) b로, -18을(를) c로 치환합니다.

$$a=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

6을(를) 제곱합니다.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -18을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-6±\sqrt{36+360}}{2\times 5}$$

36을(를) 360에 추가합니다.

$$a=\frac{-6±\sqrt{396}}{2\times 5}$$

396의 제곱근을 구합니다.

$$a=\frac{-6±6\sqrt{11}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{-6±6\sqrt{11}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 a=\frac{-6±6\sqrt{11}}{10}을(를) 풉니다. -6을(를) 6\sqrt{11}에 추가합니다.

$$a=\frac{6\sqrt{11}-6}{10}$$

-6+6\sqrt{11}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{3\sqrt{11}-3}{5}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 a=\frac{-6±6\sqrt{11}}{10}을(를) 풉니다. -6에서 6\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{-6\sqrt{11}-6}{10}$$

-6-6\sqrt{11}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{-3\sqrt{11}-3}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{3\sqrt{11}-3}{5} a=\frac{-3\sqrt{11}-3}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$5a^{2}+6a=18$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5a^{2}+6a}{5}=\frac{18}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$a^{2}+\frac{6}{5}a=\frac{18}{5}$$

x 항의 계수인 \frac{6}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$a^{2}+\frac{6}{5}a+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{18}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{5}을(를) 제곱합니다.

$$a^{2}+\frac{6}{5}a+\frac{9}{25}=\frac{18}{5}+\frac{9}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{18}{5}을(를) \frac{9}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a^{2}+\frac{6}{5}a+\frac{9}{25}=\frac{99}{25}$$

인수 a^{2}+\frac{6}{5}a+\frac{9}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(a+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{99}{25}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{99}{25}}$$

단순화합니다.

$$a+\frac{3}{5}=\frac{3\sqrt{11}}{5} a+\frac{3}{5}=-\frac{3\sqrt{11}}{5}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{5}을(를) 뺍니다.

$$a=\frac{3\sqrt{11}-3}{5} a=\frac{-3\sqrt{11}-3}{5}$$