다음을 풀어보세요: 4x^2+16x+7=0

$$4 x ^ { 2 } + 16 x + 7 = 0$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 4x^{2}+ax+bx+7(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=16 ab=4\times 7=28$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 28을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,28 2,14 4,7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+28=29 2+14=16 4+7=11$$

이 해답은 합계 16이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=2 b=14$$

4x^{2}+16x+7을(를) \left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(14x+7\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 2x를 제한 합니다.

$$2x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 2x+1을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 2x+1=0을 해결 하 고, 2x+7=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 16을(를) b로, 7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

16을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\times 7}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-16\times 7}}{2\times 4}$$

-16에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-112}}{2\times 4}$$

256을(를) -112에 추가합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

144의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-16±12}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±12}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-16±12}{8}을(를) 풉니다. -16을(를) 12에 추가합니다.

$$x=-\frac{4}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-16±12}{8}을(를) 풉니다. -16에서 12을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{28}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-28}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{7}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+16x+7=0$$

수식의 양쪽에서 7을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+16x+7-7=-7$$

자신에서 7을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+16x=-7$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+16x}{4}=-\frac{7}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{16}{4}x=-\frac{7}{4}$$

16을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+4x=-\frac{7}{4}$$

x 항의 계수인 4을(를) 2(으)로 나눠서 2을(를) 구합니다. 그런 다음 2의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{7}{4}+2^{2}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{7}{4}+4$$

-\frac{7}{4}을(를) 4에 추가합니다.

$$x^{2}+4x+4=\frac{9}{4}$$

인수 x^{2}+4x+4. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+2\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+2=\frac{3}{2} x+2=-\frac{3}{2}$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{2}$$