다음을 풀어보세요: 4x+102=-20x(3-6x)

$$4 x + 102 = - 20 x ( 3 - 6 x )$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx 1.226412003$$

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}\approx -0.69307867$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 -20x에 3-6x(을)를 곱합니다.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

양쪽에 60x을(를) 더합니다.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

4x과(와) 60x을(를) 결합하여 64x(을)를 구합니다.

$$64x+102=120x^{2}$$

양쪽 모두에서 120x^{2}을(를) 뺍니다.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-120x^{2}+64x+102=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -120을(를) a로, 64을(를) b로, 102을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

64을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-120\right)\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

-4에 -120을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+480\times 102}}{2\left(-120\right)}$$

480에 102을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{4096+48960}}{2\left(-120\right)}$$

4096을(를) 48960에 추가합니다.

$$x=\frac{-64±\sqrt{53056}}{2\left(-120\right)}$$

53056의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{2\left(-120\right)}$$

2에 -120을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}을(를) 풉니다. -64을(를) 8\sqrt{829}에 추가합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64+8\sqrt{829}을(를) -240(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-64±8\sqrt{829}}{-240}을(를) 풉니다. -64에서 8\sqrt{829}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{829}-64}{-240}$$

-64-8\sqrt{829}을(를) -240(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 -20x에 3-6x(을)를 곱합니다.

$$4x+102=-60x+120x^{2}$$

양쪽에 60x을(를) 더합니다.

$$4x+102+60x=120x^{2}$$

4x과(와) 60x을(를) 결합하여 64x(을)를 구합니다.

$$64x+102=120x^{2}$$

양쪽 모두에서 120x^{2}을(를) 뺍니다.

$$64x+102-120x^{2}=0$$

양쪽 모두에서 102을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$64x-120x^{2}=-102$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-120x^{2}+64x=-102$$

양쪽을 -120(으)로 나눕니다.

$$\frac{-120x^{2}+64x}{-120}=-\frac{102}{-120}$$

-120(으)로 나누면 -120(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{64}{-120}x=-\frac{102}{-120}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{64}{-120}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{102}{-120}$$

6을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-102}{-120}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=\frac{17}{20}$$

x 항의 계수인 -\frac{8}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{4}{15}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{4}{15}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{17}{20}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{4}{15}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{17}{20}+\frac{16}{225}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{17}{20}을(를) \frac{16}{225}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=\frac{829}{900}$$

인수 x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{829}{900}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{829}{900}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{829}}{30} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{829}}{30}$$

수식의 양쪽에 \frac{4}{15}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15} x=-\frac{\sqrt{829}}{30}+\frac{4}{15}$$