다음을 풀어보세요: 4x^2+5x+6=0

$$4 { x }^{ 2 } +5x+6=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{71}i}{8}\approx -0.625+1.053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-5}{8}\approx -0.625-1.053268722i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$4x^{2}+5x+6=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 4을(를) a로, 5을(를) b로, 6을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\times 6}}{2\times 4}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\times 6}}{2\times 4}$$

-4에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-16\times 6}}{2\times 4}$$

-16에 6을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-96}}{2\times 4}$$

25을(를) -96에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-71}}{2\times 4}$$

-71의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{71}i}{2\times 4}$$

2에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{71}i}{8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{71}i}{8}을(를) 풉니다. -5을(를) i\sqrt{71}에 추가합니다.

$$x=\frac{-5+\sqrt{71}i}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±\sqrt{71}i}{8}을(를) 풉니다. -5에서 i\sqrt{71}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-5}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-5+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-5}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$4x^{2}+5x+6=0$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$4x^{2}+5x+6-6=-6$$

자신에서 6을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$4x^{2}+5x=-6$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$\frac{4x^{2}+5x}{4}=-\frac{6}{4}$$

4(으)로 나누면 4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{6}{4}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-6}{4}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=-\frac{3}{2}$$

x 항의 계수인 \frac{5}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{2}을(를) \frac{25}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{71}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-5+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-5}{8}$$