다음을 풀어보세요: 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

n에 대한 해

$$n=-20$$

$$n=19$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 1141을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1에서 1141을(를) 빼고 -1140을(를) 구합니다.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+n-380=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 n^{2}+an+bn-380(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -380을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

이 해답은 합계 1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-19 b=20$$

n^{2}+n-380을(를) \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

첫 번째 그룹 및 20에서 n를 제한 합니다.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 n-19을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 n-19=0을 해결 하 고, n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

수식의 양쪽에서 1141을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

자신에서 1141을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

1에서 1141을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 3을(를) b로, -1140을(를) c로 치환합니다.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -1140을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

9을(를) 13680에 추가합니다.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

13689의 제곱근을 구합니다.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 n=\frac{-3±117}{6}을(를) 풉니다. -3을(를) 117에 추가합니다.

$$n=\frac{114}{6}$$

114을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=19$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 n=\frac{-3±117}{6}을(를) 풉니다. -3에서 117을(를) 뺍니다.

$$n=-\frac{120}{6}$$

-120을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$n=-20$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$n=19 n=-20$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

1141에서 1을(를) 뺍니다.

$$3n^{2}+3n=1140$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

3을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

1140을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$n^{2}+n=380$$

x 항의 계수인 1을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

380을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

인수 n^{2}+n+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

단순화합니다.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{2}을(를) 뺍니다.

$$n=19 n=-20$$