다음을 풀어보세요: 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

x에 대한 해

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 138을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 3x^{2}+ax+bx-138(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -414을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

이 해답은 합계 5이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-18 b=23$$

3x^{2}+5x-138을(를) \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

첫 번째 그룹 및 23에서 3x를 제한 합니다.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-6=0을 해결 하 고, 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$3x^{2}+5x=138$$

수식의 양쪽에서 138을(를) 뺍니다.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

자신에서 138을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 3을(를) a로, 5을(를) b로, -138을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-4에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

-12에 -138을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

25을(를) 1656에 추가합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

2에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-5±41}{6}을(를) 풉니다. -5을(를) 41에 추가합니다.

$$x=\frac{36}{6}$$

36을(를) 6(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-5±41}{6}을(를) 풉니다. -5에서 41을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{46}{6}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-46}{6}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{23}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$3x^{2}+5x=138$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

3(으)로 나누면 3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138을(를) 3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

x 항의 계수인 \frac{5}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{5}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{5}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{5}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

46을(를) \frac{25}{36}에 추가합니다.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

인수 x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{6}을(를) 뺍니다.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$