다음을 풀어보세요: 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3.232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0.232050808$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -4을(를) a로, 12을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

-4에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

16에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

144을(를) 48에 추가합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

192의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

2에 -4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}을(를) 풉니다. -12을(를) 8\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

-12+8\sqrt{3}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}을(를) 풉니다. -12에서 8\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

-12-8\sqrt{3}을(를) -8(으)로 나눕니다.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

양쪽을 -4(으)로 나눕니다.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

-4(으)로 나누면 -4(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

12을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

-3을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

x 항의 계수인 -3을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{4}을(를) \frac{9}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

인수 x^{2}-3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{3}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$