다음을 풀어보세요: 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

y에 대한 해

$$y=-\frac{21}{25}=-0.84$$

$$y=3$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 25y^{2}+ay+by-63(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -1575을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

이 해답은 합계 -54이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-75 b=21$$

25y^{2}-54y-63을(를) \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

첫 번째 그룹 및 21에서 25y를 제한 합니다.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 y-3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 y-3=0을 해결 하 고, 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, -54을(를) b로, -63을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-54을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

-100에 -63을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

2916을(를) 6300에 추가합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

9216의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

-54의 반대는 54입니다.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{54±96}{50}을(를) 풉니다. 54을(를) 96에 추가합니다.

$$y=\frac{150}{50}$$

150을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{54±96}{50}을(를) 풉니다. 54에서 96을(를) 뺍니다.

$$y=-\frac{42}{50}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-42}{50}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$y=-\frac{21}{25}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

수식의 양쪽에 63을(를) 더합니다.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

자신에서 -63을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

0에서 -63을(를) 뺍니다.

$$25y^{2}-54y=63$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

x 항의 계수인 -\frac{54}{25}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{27}{25}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{27}{25}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{27}{25}을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{63}{25}을(를) \frac{729}{625}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

인수 y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

단순화합니다.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

수식의 양쪽에 \frac{27}{25}을(를) 더합니다.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$