다음을 풀어보세요: 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0.833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

25x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 24x^{2}(을)를 구합니다.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 24x^{2}+ax+bx-25(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b 음수 이기 때문에 음수 값은 양수 보다 더 큰 절대값을 가집니다. 제품 -600을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

이 해답은 합계 -10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-30 b=20$$

24x^{2}-10x-25을(를) \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

첫 번째 그룹 및 5에서 6x를 제한 합니다.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4x-5을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4x-5=0을 해결 하 고, 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

근의 공식을 사용한 단계

25x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 24x^{2}(을)를 구합니다.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 24을(를) a로, -10을(를) b로, -25을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-4에 24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

-96에 -25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

100을(를) 2400에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

2500의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

2에 24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±50}{48}을(를) 풉니다. 10을(를) 50에 추가합니다.

$$x=\frac{60}{48}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{60}{48}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{5}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±50}{48}을(를) 풉니다. 10에서 50을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{40}{48}$$

8을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-40}{48}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

제곱 완성 단계

25x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 24x^{2}(을)를 구합니다.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

양쪽에 25을(를) 더합니다. 모든 항목에 0을 더한 결과는 해당 항목 자체입니다.

$$24x^{2}-10x=25$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

24(으)로 나누면 24(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-10}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

x 항의 계수인 -\frac{5}{12}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{5}{24}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{5}{24}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{5}{24}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{24}을(를) \frac{25}{576}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

인수 x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{24}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$