다음을 풀어보세요: 25x^2+30x+9=0

$$25 { x }^{ 2 } +30x+9=0$$

x에 대한 해

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 25x^{2}+ax+bx+9(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=30 ab=25\times 9=225$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 225을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

이 해답은 합계 30이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=15 b=15$$

25x^{2}+30x+9을(를) \left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(15x+9\right)$$

첫 번째 그룹 및 3에서 5x를 제한 합니다.

$$5x\left(5x+3\right)+3\left(5x+3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 5x+3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+3\right)$$

이항 제곱으로 다시 작성합니다.

$$\left(5x+3\right)^{2}$$

수식 해답을 찾으려면 5x+3=0을(를) 계산하세요.

$$x=-\frac{3}{5}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, 30을(를) b로, 9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

30을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

-100에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

900을(를) -900에 추가합니다.

$$x=\frac{-30±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

0의 제곱근을 구합니다.

$$x=-\frac{30}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{30}{50}$$

10을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-30}{50}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{5}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$25x^{2}+30x+9=0$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}+30x+9-9=-9$$

자신에서 9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$25x^{2}+30x=-9$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=-\frac{9}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=-\frac{9}{25}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{30}{25}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{9}{25}$$

x 항의 계수인 \frac{6}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{5}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{5}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{9}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{5}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{-9+9}{25}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{25}을(를) \frac{9}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=0$$

인수 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=0$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{5}=0 x+\frac{3}{5}=0$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{5}을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{3}{5}$$

수식이 이제 해결되었습니다. 해답은 동일합니다.

$$x=-\frac{3}{5}$$