다음을 풀어보세요: 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

x에 대한 해

$$x=-30$$

$$x=20$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+10x-600=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-600(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -600을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-20 b=30$$

x^{2}+10x-600을(를) \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

첫 번째 그룹 및 30에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-20을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-20=0을 해결 하 고, x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 25을(를) a로, 250을(를) b로, -15000을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

250을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-4에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

-100에 -15000을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

62500을(를) 1500000에 추가합니다.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

1562500의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

2에 25을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-250±1250}{50}을(를) 풉니다. -250을(를) 1250에 추가합니다.

$$x=\frac{1000}{50}$$

1000을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$x=20$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-250±1250}{50}을(를) 풉니다. -250에서 1250을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

-1500을(를) 50(으)로 나눕니다.

$$x=-30$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=20 x=-30$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

수식의 양쪽에 15000을(를) 더합니다.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

자신에서 -15000을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

0에서 -15000을(를) 뺍니다.

$$25x^{2}+250x=15000$$

양쪽을 25(으)로 나눕니다.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

25(으)로 나누면 25(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

250을(를) 25(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

15000을(를) 25(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+10x=600$$

x 항의 계수인 10을(를) 2(으)로 나눠서 5을(를) 구합니다. 그런 다음 5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

5을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

600을(를) 25에 추가합니다.

$$x^{2}+10x+25=625$$

인수 x^{2}+10x+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

단순화합니다.

$$x+5=25 x+5=-25$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$x=20 x=-30$$