다음을 풀어보세요: 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

k에 대한 해

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 12k^{2}+ak+bk+12(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 144을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

이 해답은 합계 25이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=9 b=16$$

12k^{2}+25k+12을(를) \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 3k를 제한 합니다.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 4k+3을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 4k+3=0을 해결 하 고, 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 24을(를) a로, 50을(를) b로, 24을(를) c로 치환합니다.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

50을(를) 제곱합니다.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

-4에 24을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

-96에 24을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

2500을(를) -2304에 추가합니다.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

196의 제곱근을 구합니다.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

2에 24을(를) 곱합니다.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 k=\frac{-50±14}{48}을(를) 풉니다. -50을(를) 14에 추가합니다.

$$k=-\frac{36}{48}$$

12을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-36}{48}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$k=-\frac{3}{4}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 k=\frac{-50±14}{48}을(를) 풉니다. -50에서 14을(를) 뺍니다.

$$k=-\frac{64}{48}$$

16을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-64}{48}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$k=-\frac{4}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

수식의 양쪽에서 24을(를) 뺍니다.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

자신에서 24을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$24k^{2}+50k=-24$$

양쪽을 24(으)로 나눕니다.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24(으)로 나누면 24(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{50}{24}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

-24을(를) 24(으)로 나눕니다.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

x 항의 계수인 \frac{25}{12}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{25}{24}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{25}{24}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{25}{24}을(를) 제곱합니다.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

-1을(를) \frac{625}{576}에 추가합니다.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

인수 k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

단순화합니다.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

수식의 양쪽에서 \frac{25}{24}을(를) 뺍니다.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$