다음을 풀어보세요: 22x^2+24x-9=0

$$22 x ^ { 2 } + 24 x - 9 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx 0.295147364$$

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}\approx -1.386056455$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 22을(를) a로, 24을(를) b로, -9을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

24을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 22\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

-4에 22을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-88\left(-9\right)}}{2\times 22}$$

-88에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+792}}{2\times 22}$$

576을(를) 792에 추가합니다.

$$x=\frac{-24±\sqrt{1368}}{2\times 22}$$

1368의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{2\times 22}$$

2에 22을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}을(를) 풉니다. -24을(를) 6\sqrt{38}에 추가합니다.

$$x=\frac{6\sqrt{38}-24}{44}$$

-24+6\sqrt{38}을(를) 44(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-24±6\sqrt{38}}{44}을(를) 풉니다. -24에서 6\sqrt{38}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-6\sqrt{38}-24}{44}$$

-24-6\sqrt{38}을(를) 44(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$22x^{2}+24x-9=0$$

수식의 양쪽에 9을(를) 더합니다.

$$22x^{2}+24x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

자신에서 -9을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$22x^{2}+24x=-\left(-9\right)$$

0에서 -9을(를) 뺍니다.

$$22x^{2}+24x=9$$

양쪽을 22(으)로 나눕니다.

$$\frac{22x^{2}+24x}{22}=\frac{9}{22}$$

22(으)로 나누면 22(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{24}{22}x=\frac{9}{22}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{24}{22}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x=\frac{9}{22}$$

x 항의 계수인 \frac{12}{11}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{6}{11}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{6}{11}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{9}{22}+\left(\frac{6}{11}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{6}{11}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{9}{22}+\frac{36}{121}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{9}{22}을(를) \frac{36}{121}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{171}{242}$$

인수 x^{2}+\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{171}{242}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{171}{242}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{6}{11}=\frac{3\sqrt{38}}{22} x+\frac{6}{11}=-\frac{3\sqrt{38}}{22}$$

수식의 양쪽에서 \frac{6}{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11} x=-\frac{3\sqrt{38}}{22}-\frac{6}{11}$$