다음을 풀어보세요: 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

y에 대한 해

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1.545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1.345683229$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

분배 법칙을 사용하여 3에 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}(을)를 곱합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

\frac{3}{25}에서 2을(를) 빼고 -\frac{47}{25}을(를) 구합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

양쪽 모두에서 -\frac{47}{25}을(를) 뺍니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

-\frac{47}{25}의 반대는 \frac{47}{25}입니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

양쪽에 \frac{6}{5}y을(를) 더합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

\frac{1}{5}과(와) \frac{47}{25}을(를) 더하여 \frac{52}{25}을(를) 구합니다.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

-y과(와) \frac{6}{5}y을(를) 결합하여 \frac{1}{5}y(을)를 구합니다.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

양쪽 모두에서 3y^{2}을(를) 뺍니다.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

2y^{2}과(와) -3y^{2}을(를) 결합하여 -y^{2}(을)를 구합니다.

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, \frac{1}{5}을(를) b로, \frac{52}{25}을(를) c로 치환합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{5}을(를) 제곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

4에 \frac{52}{25}을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{25}을(를) \frac{208}{25}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

\frac{209}{25}의 제곱근을 구합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}을(를) 풉니다. -\frac{1}{5}을(를) \frac{\sqrt{209}}{5}에 추가합니다.

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1+\sqrt{209}}{5}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}을(를) 풉니다. -\frac{1}{5}에서 \frac{\sqrt{209}}{5}을(를) 뺍니다.

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1-\sqrt{209}}{5}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

분배 법칙을 사용하여 3에 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}(을)를 곱합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

\frac{3}{25}에서 2을(를) 빼고 -\frac{47}{25}을(를) 구합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

양쪽에 \frac{6}{5}y을(를) 더합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

-y과(와) \frac{6}{5}y을(를) 결합하여 \frac{1}{5}y(을)를 구합니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

양쪽 모두에서 3y^{2}을(를) 뺍니다.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

2y^{2}과(와) -3y^{2}을(를) 결합하여 -y^{2}(을)를 구합니다.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

양쪽 모두에서 \frac{1}{5}을(를) 뺍니다.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

-\frac{47}{25}에서 \frac{1}{5}을(를) 빼고 -\frac{52}{25}을(를) 구합니다.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

\frac{1}{5}을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

-\frac{52}{25}을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{5}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{10}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{10}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{10}을(를) 제곱합니다.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{52}{25}을(를) \frac{1}{100}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

인수 y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

단순화합니다.

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{10}을(를) 더합니다.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$