다음을 풀어보세요: 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

x에 대한 해

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

근의 공식을 사용한 단계

부등식의 해를 구하려면 왼쪽을 인수 분해합니다. 이차 다항식은 변환 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)를 사용하여 인수 분해할 수 있습니다, 여기서 x_{1} 및 x_{2}는 이차방정식 ax^{2}+bx+c=0의 해답입니다.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 2(으)로, b을(를) 5(으)로, c을(를) 1(으)로 대체합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

계산을 합니다.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} 수식의 해를 찾습니다.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

얻은 해답을 사용하여 부등식을 다시 작성합니다.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

곱이 음수가 되려면 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} 및 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}이(가) 반대 부호여야 합니다. x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}이(가) 양수이고 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

모든 x에 거짓입니다.

$$x\in \emptyset$$

x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}이(가) 양수이고 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}이(가) 음수인 경우를 고려합니다.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

두 부등식 모두를 만족하는 해답은 x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)입니다.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

최종 해답은 얻은 해의 합입니다.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$