다음을 풀어보세요: 2x^2+6x^2+7x+60=0

$$2 { x }^{ 2 } +6 { x }^{ 2 } +7x+60 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16}\approx -0.4375+2.703441094i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}\approx -0.4375-2.703441094i$$

근의 공식을 사용한 단계

2x^{2}과(와) 6x^{2}을(를) 결합하여 8x^{2}(을)를 구합니다.

$$8x^{2}+7x+60=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 8을(를) a로, 7을(를) b로, 60을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 8\times 60}}{2\times 8}$$

7을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 8\times 60}}{2\times 8}$$

-4에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-32\times 60}}{2\times 8}$$

-32에 60을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-1920}}{2\times 8}$$

49을(를) -1920에 추가합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-1871}}{2\times 8}$$

-1871의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{2\times 8}$$

2에 8을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}을(를) 풉니다. -7을(를) i\sqrt{1871}에 추가합니다.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-7±\sqrt{1871}i}{16}을(를) 풉니다. -7에서 i\sqrt{1871}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16} x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$

제곱 완성 단계

2x^{2}과(와) 6x^{2}을(를) 결합하여 8x^{2}(을)를 구합니다.

$$8x^{2}+7x+60=0$$

양쪽 모두에서 60을(를) 뺍니다. 0에서 모든 항목을 뺀 결과는 해당 항목의 음수입니다.

$$8x^{2}+7x=-60$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$\frac{8x^{2}+7x}{8}=-\frac{60}{8}$$

8(으)로 나누면 8(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x=-\frac{60}{8}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-60}{8}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x=-\frac{15}{2}$$

x 항의 계수인 \frac{7}{8}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{7}{16}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{7}{16}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{16}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{7}{16}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{15}{2}+\frac{49}{256}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{15}{2}을(를) \frac{49}{256}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}=-\frac{1871}{256}$$

인수 x^{2}+\frac{7}{8}x+\frac{49}{256}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{7}{16}\right)^{2}=-\frac{1871}{256}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1871}{256}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{7}{16}=\frac{\sqrt{1871}i}{16} x+\frac{7}{16}=-\frac{\sqrt{1871}i}{16}$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{16}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-7+\sqrt{1871}i}{16} x=\frac{-\sqrt{1871}i-7}{16}$$