다음을 풀어보세요: 15x^2-97x+1=0

$$15 x ^ { 2 } - 97 x + 1 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{9349} + 97}{30} \approx 6.4563409$$

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}\approx 0.010325766$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 15을(를) a로, -97을(를) b로, 1을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{\left(-97\right)^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

-97을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-4\times 15}}{2\times 15}$$

-4에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9409-60}}{2\times 15}$$

9409을(를) -60에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-97\right)±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

-97의 반대는 97입니다.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{2\times 15}$$

2에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}을(를) 풉니다. 97을(를) \sqrt{9349}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{97±\sqrt{9349}}{30}을(를) 풉니다. 97에서 \sqrt{9349}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$15x^{2}-97x+1=0$$

수식의 양쪽에서 1을(를) 뺍니다.

$$15x^{2}-97x+1-1=-1$$

자신에서 1을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$15x^{2}-97x=-1$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$\frac{15x^{2}-97x}{15}=-\frac{1}{15}$$

15(으)로 나누면 15(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x=-\frac{1}{15}$$

x 항의 계수인 -\frac{97}{15}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{97}{30}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{97}{30}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(-\frac{97}{30}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{97}{30}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=-\frac{1}{15}+\frac{9409}{900}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{15}을(를) \frac{9409}{900}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}=\frac{9349}{900}$$

인수 x^{2}-\frac{97}{15}x+\frac{9409}{900}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}=\frac{9349}{900}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{97}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9349}{900}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{97}{30}=\frac{\sqrt{9349}}{30} x-\frac{97}{30}=-\frac{\sqrt{9349}}{30}$$

수식의 양쪽에 \frac{97}{30}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{9349}+97}{30} x=\frac{97-\sqrt{9349}}{30}$$