다음을 풀어보세요: 125x^2-78*5x+36125=0

$$125 x ^ { 2 } - 78 \cdot 5 x + 36125 = 0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}\approx 1.56+16.92827221i$$

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}\approx 1.56-16.92827221i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 125을(를) a로, -390을(를) b로, 36125을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{\left(-390\right)^{2}-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

-390을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-4\times 125\times 36125}}{2\times 125}$$

-4에 125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-500\times 36125}}{2\times 125}$$

-500에 36125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{152100-18062500}}{2\times 125}$$

152100을(를) -18062500에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±\sqrt{-17910400}}{2\times 125}$$

-17910400의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-390\right)±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

-390의 반대는 390입니다.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{2\times 125}$$

2에 125을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}을(를) 풉니다. 390을(를) 40i\sqrt{11194}에 추가합니다.

$$x=\frac{390+40\sqrt{11194}i}{250}$$

390+40i\sqrt{11194}을(를) 250(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{390±40\sqrt{11194}i}{250}을(를) 풉니다. 390에서 40i\sqrt{11194}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-40\sqrt{11194}i+390}{250}$$

390-40i\sqrt{11194}을(를) 250(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$125x^{2}-390x+36125=0$$

수식의 양쪽에서 36125을(를) 뺍니다.

$$125x^{2}-390x+36125-36125=-36125$$

자신에서 36125을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$125x^{2}-390x=-36125$$

양쪽을 125(으)로 나눕니다.

$$\frac{125x^{2}-390x}{125}=-\frac{36125}{125}$$

125(으)로 나누면 125(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{390}{125}\right)x=-\frac{36125}{125}$$

5을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-390}{125}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-\frac{36125}{125}$$

-36125을(를) 125(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x=-289$$

x 항의 계수인 -\frac{78}{25}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{39}{25}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{39}{25}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}=-289+\left(-\frac{39}{25}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{39}{25}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-289+\frac{1521}{625}$$

-289을(를) \frac{1521}{625}에 추가합니다.

$$x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}=-\frac{179104}{625}$$

인수 x^{2}-\frac{78}{25}x+\frac{1521}{625}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}=-\frac{179104}{625}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{39}{25}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{179104}{625}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{39}{25}=\frac{4\sqrt{11194}i}{25} x-\frac{39}{25}=-\frac{4\sqrt{11194}i}{25}$$

수식의 양쪽에 \frac{39}{25}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{39+4\sqrt{11194}i}{25} x=\frac{-4\sqrt{11194}i+39}{25}$$