다음을 풀어보세요: 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0.70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0.387995381$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 11을(를) a로, -12을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

-12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

-4에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

-44에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

144을(를) -132에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

12의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

-12의 반대는 12입니다.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

2에 11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}을(를) 풉니다. 12을(를) 2\sqrt{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

12+2\sqrt{3}을(를) 22(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}을(를) 풉니다. 12에서 2\sqrt{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

12-2\sqrt{3}을(를) 22(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

자신에서 3을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$11x^{2}-12x=-3$$

양쪽을 11(으)로 나눕니다.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

11(으)로 나누면 11(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

x 항의 계수인 -\frac{12}{11}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{6}{11}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{6}{11}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{6}{11}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{3}{11}을(를) \frac{36}{121}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

인수 x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

수식의 양쪽에 \frac{6}{11}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$