다음을 풀어보세요: 1024x^2+768x+1280=0

$$1024 { x }^{ 2 } +768x+1280=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0.375+1.053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0.375-1.053268722i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 1024을(를) a로, 768을(를) b로, 1280을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-768±\sqrt{768^{2}-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

768을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

-4에 1024을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4096\times 1280}}{2\times 1024}$$

-4096에 1280을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-5242880}}{2\times 1024}$$

589824을(를) -5242880에 추가합니다.

$$x=\frac{-768±\sqrt{-4653056}}{2\times 1024}$$

-4653056의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2\times 1024}$$

2에 1024을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}을(를) 풉니다. -768을(를) 256i\sqrt{71}에 추가합니다.

$$x=\frac{-768+256\sqrt{71}i}{2048}$$

-768+256i\sqrt{71}을(를) 2048(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}을(를) 풉니다. -768에서 256i\sqrt{71}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-256\sqrt{71}i-768}{2048}$$

-768-256i\sqrt{71}을(를) 2048(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

수식의 양쪽에서 1280을(를) 뺍니다.

$$1024x^{2}+768x+1280-1280=-1280$$

자신에서 1280을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$1024x^{2}+768x=-1280$$

양쪽을 1024(으)로 나눕니다.

$$\frac{1024x^{2}+768x}{1024}=-\frac{1280}{1024}$$

1024(으)로 나누면 1024(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{768}{1024}x=-\frac{1280}{1024}$$

256을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{768}{1024}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1280}{1024}$$

256을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-1280}{1024}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{3}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{5}{4}을(를) \frac{9}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$