다음을 풀어보세요: -49x^2+9x+22=0

$$-49 { x }^{ 2 } +9x+22=0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}\approx 0.768160309$$

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}\approx -0.58448684$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-49x^{2}+9x+22=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -49을(를) a로, 9을(를) b로, 22을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-49\right)\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

9을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-49\right)\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

-4에 -49을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+196\times 22}}{2\left(-49\right)}$$

196에 22을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4312}}{2\left(-49\right)}$$

81을(를) 4312에 추가합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{2\left(-49\right)}$$

2에 -49을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98}을(를) 풉니다. -9을(를) \sqrt{4393}에 추가합니다.

$$x=\frac{\sqrt{4393}-9}{-98}$$

-9+\sqrt{4393}을(를) -98(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-9±\sqrt{4393}}{-98}을(를) 풉니다. -9에서 \sqrt{4393}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\sqrt{4393}-9}{-98}$$

-9-\sqrt{4393}을(를) -98(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98} x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-49x^{2}+9x+22=0$$

수식의 양쪽에서 22을(를) 뺍니다.

$$-49x^{2}+9x+22-22=-22$$

자신에서 22을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-49x^{2}+9x=-22$$

양쪽을 -49(으)로 나눕니다.

$$\frac{-49x^{2}+9x}{-49}=-\frac{22}{-49}$$

-49(으)로 나누면 -49(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{9}{-49}x=-\frac{22}{-49}$$

9을(를) -49(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x=-\frac{22}{-49}$$

-22을(를) -49(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x=\frac{22}{49}$$

x 항의 계수인 -\frac{9}{49}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{98}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{98}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\left(-\frac{9}{98}\right)^{2}=\frac{22}{49}+\left(-\frac{9}{98}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{98}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}=\frac{22}{49}+\frac{81}{9604}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{22}{49}을(를) \frac{81}{9604}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}=\frac{4393}{9604}$$

인수 x^{2}-\frac{9}{49}x+\frac{81}{9604}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{9}{98}\right)^{2}=\frac{4393}{9604}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{98}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4393}{9604}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{9}{98}=\frac{\sqrt{4393}}{98} x-\frac{9}{98}=-\frac{\sqrt{4393}}{98}$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{98}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{4393}+9}{98} x=\frac{9-\sqrt{4393}}{98}$$