다음을 풀어보세요: -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9.722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4.388670163$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 16을(를) b로, 128을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

16을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

12에 128을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

256을(를) 1536에 추가합니다.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

1792의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. -16을(를) 16\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16+16\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. -16에서 16\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

-16-16\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

수식의 양쪽에서 128을(를) 뺍니다.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

자신에서 128을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

16을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

-128을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{16}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{8}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{8}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{8}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{128}{3}을(를) \frac{64}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{8}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$