다음을 풀어보세요: -2x^2+20x=48

$$-2 { x }^{ 2 } +20x=48$$

x에 대한 해

$$x=4$$

$$x=6$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽 모두에서 48을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -x^{2}+ax+bx-24(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

ab은 양수 이기 때문에 a 및 b는 동일한 기호를가지고 있습니다. a+b은 양수 이기 때문에 a 및 b 모두 양수입니다. 제품 24을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

이 해답은 합계 10이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=6 b=4$$

-x^{2}+10x-24을(를) \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

첫 번째 그룹 및 4에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-6을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-6=0을 해결 하 고, -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-2x^{2}+20x=48$$

수식의 양쪽에서 48을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

자신에서 48을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -2을(를) a로, 20을(를) b로, -48을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

20을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8에 -48을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

400을(를) -384에 추가합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

16의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-20±4}{-4}을(를) 풉니다. -20을(를) 4에 추가합니다.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

-16을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-20±4}{-4}을(를) 풉니다. -20에서 4을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

-24을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=6$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=6$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-2x^{2}+20x=48$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

-2(으)로 나누면 -2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

20을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

48을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=-24$$

x 항의 계수인 -10을(를) 2(으)로 나눠서 -5을(를) 구합니다. 그런 다음 -5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

-24을(를) 25에 추가합니다.

$$x^{2}-10x+25=1$$

인수 x^{2}-10x+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

단순화합니다.

$$x-5=1 x-5=-1$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$x=6 x=4$$