다음을 풀어보세요: -16t^2+144t+100=0

$$-16 { t }^{ 2 } +144t+100=0$$

t에 대한 해

$$t = \frac{\sqrt{106} + 9}{2} \approx 9.64781507$$

$$t=\frac{9-\sqrt{106}}{2}\approx -0.64781507$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-16t^{2}+144t+100=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -16을(를) a로, 144을(를) b로, 100을(를) c로 치환합니다.

$$t=\frac{-144±\sqrt{144^{2}-4\left(-16\right)\times 100}}{2\left(-16\right)}$$

144을(를) 제곱합니다.

$$t=\frac{-144±\sqrt{20736-4\left(-16\right)\times 100}}{2\left(-16\right)}$$

-4에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-144±\sqrt{20736+64\times 100}}{2\left(-16\right)}$$

64에 100을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-144±\sqrt{20736+6400}}{2\left(-16\right)}$$

20736을(를) 6400에 추가합니다.

$$t=\frac{-144±\sqrt{27136}}{2\left(-16\right)}$$

27136의 제곱근을 구합니다.

$$t=\frac{-144±16\sqrt{106}}{2\left(-16\right)}$$

2에 -16을(를) 곱합니다.

$$t=\frac{-144±16\sqrt{106}}{-32}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 t=\frac{-144±16\sqrt{106}}{-32}을(를) 풉니다. -144을(를) 16\sqrt{106}에 추가합니다.

$$t=\frac{16\sqrt{106}-144}{-32}$$

-144+16\sqrt{106}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{9-\sqrt{106}}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 t=\frac{-144±16\sqrt{106}}{-32}을(를) 풉니다. -144에서 16\sqrt{106}을(를) 뺍니다.

$$t=\frac{-16\sqrt{106}-144}{-32}$$

-144-16\sqrt{106}을(를) -32(으)로 나눕니다.

$$t=\frac{\sqrt{106}+9}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$t=\frac{9-\sqrt{106}}{2} t=\frac{\sqrt{106}+9}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-16t^{2}+144t+100=0$$

수식의 양쪽에서 100을(를) 뺍니다.

$$-16t^{2}+144t+100-100=-100$$

자신에서 100을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-16t^{2}+144t=-100$$

양쪽을 -16(으)로 나눕니다.

$$\frac{-16t^{2}+144t}{-16}=-\frac{100}{-16}$$

-16(으)로 나누면 -16(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$t^{2}+\frac{144}{-16}t=-\frac{100}{-16}$$

144을(를) -16(으)로 나눕니다.

$$t^{2}-9t=-\frac{100}{-16}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-100}{-16}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$t^{2}-9t=\frac{25}{4}$$

x 항의 계수인 -9을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{9}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{9}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$t^{2}-9t+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{9}{2}을(를) 제곱합니다.

$$t^{2}-9t+\frac{81}{4}=\frac{25+81}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{25}{4}을(를) \frac{81}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$t^{2}-9t+\frac{81}{4}=\frac{53}{2}$$

인수 t^{2}-9t+\frac{81}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{53}{2}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{2}}$$

단순화합니다.

$$t-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{106}}{2} t-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{106}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{2}을(를) 더합니다.

$$t=\frac{\sqrt{106}+9}{2} t=\frac{9-\sqrt{106}}{2}$$