다음을 풀어보세요: -3r^2+90r=93

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

r에 대한 해

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28.928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1.071611723$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3r^{2}+90r=93$$

수식의 양쪽에서 93을(를) 뺍니다.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

자신에서 93을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 90을(를) b로, -93을(를) c로 치환합니다.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

90을(를) 제곱합니다.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -93을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

8100을(를) -1116에 추가합니다.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

6984의 제곱근을 구합니다.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}을(를) 풉니다. -90을(를) 6\sqrt{194}에 추가합니다.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

-90+6\sqrt{194}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$r=15-\sqrt{194}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}을(를) 풉니다. -90에서 6\sqrt{194}을(를) 뺍니다.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

-90-6\sqrt{194}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$r=\sqrt{194}+15$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3r^{2}+90r=93$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

90을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

93을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$r^{2}-30r=-31$$

x 항의 계수인 -30을(를) 2(으)로 나눠서 -15을(를) 구합니다. 그런 다음 -15의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

-15을(를) 제곱합니다.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

-31을(를) 225에 추가합니다.

$$r^{2}-30r+225=194$$

인수 r^{2}-30r+225. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

단순화합니다.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

수식의 양쪽에 15을(를) 더합니다.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$