다음을 풀어보세요: -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3.283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2.283882181$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -2을(를) a로, 2을(를) b로, 15을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

2을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

-4에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

8에 15을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

4을(를) 120에 추가합니다.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

124의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

2에 -2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}을(를) 풉니다. -2을(를) 2\sqrt{31}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

-2+2\sqrt{31}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}을(를) 풉니다. -2에서 2\sqrt{31}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

-2-2\sqrt{31}을(를) -4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

자신에서 15을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

-2(으)로 나누면 -2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

2을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

-15을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{15}{2}을(를) \frac{1}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$