다음을 풀어보세요: -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

x에 대한 해

$$x=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -14x^{2}+ax+bx+4(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -56을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

이 해답은 합계 1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=8 b=-7$$

-14x^{2}+x+4을(를) \left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

인수분해 -14x^{2}+8x에서 2x를 뽑아냅니다.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 -7x+4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 -7x+4=0을 해결 하 고, 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -14을(를) a로, 1을(를) b로, 4을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

-4에 -14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

56에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

1을(를) 224에 추가합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

225의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

2에 -14을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-1±15}{-28}을(를) 풉니다. -1을(를) 15에 추가합니다.

$$x=\frac{14}{-28}$$

14을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{14}{-28}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{1}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-1±15}{-28}을(를) 풉니다. -1에서 15을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

4을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-16}{-28}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x=\frac{4}{7}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

자신에서 4을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-14x^{2}+x=-4$$

양쪽을 -14(으)로 나눕니다.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

-14(으)로 나누면 -14(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

1을(를) -14(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

2을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-4}{-14}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

x 항의 계수인 -\frac{1}{14}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{28}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{28}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{28}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{7}을(를) \frac{1}{784}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

인수 x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{28}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$