다음을 풀어보세요: -x^2+x+30=-60

$$- { x }^{ 2 } +x+30=-60$$

x에 대한 해

$$x=-9$$

$$x=10$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$-x^{2}+x+30+60=0$$

30과(와) 60을(를) 더하여 90을(를) 구합니다.

$$-x^{2}+x+90=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 -x^{2}+ax+bx+90(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=1 ab=-90=-90$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -90을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

이 해답은 합계 1이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=10 b=-9$$

-x^{2}+x+90을(를) \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-9x+90\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-9x+90\right)$$

첫 번째 그룹 및 -9에서 -x를 제한 합니다.

$$-x\left(x-10\right)-9\left(x-10\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-10을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-10\right)\left(-x-9\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-10=0을 해결 하 고, -x-9=0.

$$x=10 x=-9$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+x+30=-60$$

수식의 양쪽에 60을(를) 더합니다.

$$-x^{2}+x+30-\left(-60\right)=-60-\left(-60\right)$$

자신에서 -60을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+x+30-\left(-60\right)=0$$

30에서 -60을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+x+90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 1을(를) b로, 90을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

4에 90을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+360}}{2\left(-1\right)}$$

1을(를) 360에 추가합니다.

$$x=\frac{-1±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

361의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-1±19}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-1±19}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-1±19}{-2}을(를) 풉니다. -1을(를) 19에 추가합니다.

$$x=\frac{18}{-2}$$

18을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=-9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-1±19}{-2}을(를) 풉니다. -1에서 19을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

-20을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-9 x=10$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+x+30=-60$$

수식의 양쪽에서 30을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+x+30-30=-60-30$$

자신에서 30을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+x=-60-30$$

-60에서 30을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+x=-90$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{90}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{90}{-1}$$

1을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=-\frac{90}{-1}$$

-90을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-x=90$$

x 항의 계수인 -1을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{1}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{1}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{1}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=90+\frac{1}{4}$$

90을(를) \frac{1}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{361}{4}$$

인수 x^{2}-x+\frac{1}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{19}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{1}{2}을(를) 더합니다.

$$x=10 x=-9$$