다음을 풀어보세요: -x^2+10x-81=0

$$- { x }^{ 2 } +10x-81=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-2\sqrt{14}i+5\approx 5-7.483314774i$$

$$x=5+2\sqrt{14}i\approx 5+7.483314774i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+10x-81=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 10을(를) b로, -81을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-81\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -81을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-324}}{2\left(-1\right)}$$

100을(를) -324에 추가합니다.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-224}}{2\left(-1\right)}$$

-224의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2}을(를) 풉니다. -10을(를) 4i\sqrt{14}에 추가합니다.

$$x=\frac{-10+4\sqrt{14}i}{-2}$$

-10+4i\sqrt{14}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=-2\sqrt{14}i+5$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-10±4\sqrt{14}i}{-2}을(를) 풉니다. -10에서 4i\sqrt{14}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{14}i-10}{-2}$$

-10-4i\sqrt{14}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=5+2\sqrt{14}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2\sqrt{14}i+5 x=5+2\sqrt{14}i$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+10x-81=0$$

수식의 양쪽에 81을(를) 더합니다.

$$-x^{2}+10x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

자신에서 -81을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$-x^{2}+10x=-\left(-81\right)$$

0에서 -81을(를) 뺍니다.

$$-x^{2}+10x=81$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{81}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{81}{-1}$$

10을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=\frac{81}{-1}$$

81을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-10x=-81$$

x 항의 계수인 -10을(를) 2(으)로 나눠서 -5을(를) 구합니다. 그런 다음 -5의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-81+\left(-5\right)^{2}$$

-5을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-10x+25=-81+25$$

-81을(를) 25에 추가합니다.

$$x^{2}-10x+25=-56$$

인수 x^{2}-10x+25. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-5\right)^{2}=-56$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-56}$$

단순화합니다.

$$x-5=2\sqrt{14}i x-5=-2\sqrt{14}i$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$x=5+2\sqrt{14}i x=-2\sqrt{14}i+5$$