다음을 풀어보세요: (20-x)(100+20x)=2240

$$(20-x)(100+20x)=2240$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{177} + 15}{2} \approx 14.152067348$$

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}\approx 0.847932652$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 20-x에 100+20x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

양쪽 모두에서 2240을(를) 뺍니다.

$$2000+300x-20x^{2}-2240=0$$

2000에서 2240을(를) 빼고 -240을(를) 구합니다.

$$-240+300x-20x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-20x^{2}+300x-240=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -20을(를) a로, 300을(를) b로, -240을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-300±\sqrt{300^{2}-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

300을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-4\left(-20\right)\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

-4에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000+80\left(-240\right)}}{2\left(-20\right)}$$

80에 -240을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-300±\sqrt{90000-19200}}{2\left(-20\right)}$$

90000을(를) -19200에 추가합니다.

$$x=\frac{-300±\sqrt{70800}}{2\left(-20\right)}$$

70800의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{2\left(-20\right)}$$

2에 -20을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}을(를) 풉니다. -300을(를) 20\sqrt{177}에 추가합니다.

$$x=\frac{20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300+20\sqrt{177}을(를) -40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-300±20\sqrt{177}}{-40}을(를) 풉니다. -300에서 20\sqrt{177}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-20\sqrt{177}-300}{-40}$$

-300-20\sqrt{177}을(를) -40(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{15-\sqrt{177}}{2} x=\frac{\sqrt{177}+15}{2}$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 20-x에 100+20x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$2000+300x-20x^{2}=2240$$

양쪽 모두에서 2000을(를) 뺍니다.

$$300x-20x^{2}=2240-2000$$

2240에서 2000을(를) 빼고 240을(를) 구합니다.

$$300x-20x^{2}=240$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-20x^{2}+300x=240$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$\frac{-20x^{2}+300x}{-20}=\frac{240}{-20}$$

-20(으)로 나누면 -20(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{300}{-20}x=\frac{240}{-20}$$

300을(를) -20(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=\frac{240}{-20}$$

240을(를) -20(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-15x=-12$$

x 항의 계수인 -15을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{15}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{15}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{15}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-12+\frac{225}{4}$$

-12을(를) \frac{225}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{177}{4}$$

인수 x^{2}-15x+\frac{225}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

수식의 양쪽에 \frac{15}{2}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{177}+15}{2} x=\frac{15-\sqrt{177}}{2}$$