다음을 풀어보세요: (x-10)(30-x)=144

$$( x - 10 ) ( 30 - x ) = 144$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-2\sqrt{11}i+20\approx 20-6.633249581i$$

$$x=20+2\sqrt{11}i\approx 20+6.633249581i$$

근의 공식을 사용한 단계

분배 법칙을 사용하여 x-10에 30-x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$40x-x^{2}-300=144$$

양쪽 모두에서 144을(를) 뺍니다.

$$40x-x^{2}-300-144=0$$

-300에서 144을(를) 빼고 -444을(를) 구합니다.

$$40x-x^{2}-444=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-x^{2}+40x-444=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -1을(를) a로, 40을(를) b로, -444을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

40을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\left(-1\right)\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+4\left(-444\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4에 -444을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-1776}}{2\left(-1\right)}$$

1600을(를) -1776에 추가합니다.

$$x=\frac{-40±\sqrt{-176}}{2\left(-1\right)}$$

-176의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

2에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}을(를) 풉니다. -40을(를) 4i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{-40+4\sqrt{11}i}{-2}$$

-40+4i\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=-2\sqrt{11}i+20$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-40±4\sqrt{11}i}{-2}을(를) 풉니다. -40에서 4i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-40}{-2}$$

-40-4i\sqrt{11}을(를) -2(으)로 나눕니다.

$$x=20+2\sqrt{11}i$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2\sqrt{11}i+20 x=20+2\sqrt{11}i$$

제곱 완성 단계

분배 법칙을 사용하여 x-10에 30-x(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$40x-x^{2}-300=144$$

양쪽에 300을(를) 더합니다.

$$40x-x^{2}=144+300$$

144과(와) 300을(를) 더하여 444을(를) 구합니다.

$$40x-x^{2}=444$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-x^{2}+40x=444$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$\frac{-x^{2}+40x}{-1}=\frac{444}{-1}$$

-1(으)로 나누면 -1(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{40}{-1}x=\frac{444}{-1}$$

40을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-40x=\frac{444}{-1}$$

444을(를) -1(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-40x=-444$$

x 항의 계수인 -40을(를) 2(으)로 나눠서 -20을(를) 구합니다. 그런 다음 -20의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=-444+\left(-20\right)^{2}$$

-20을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-40x+400=-444+400$$

-444을(를) 400에 추가합니다.

$$x^{2}-40x+400=-44$$

인수 x^{2}-40x+400. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-20\right)^{2}=-44$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{-44}$$

단순화합니다.

$$x-20=2\sqrt{11}i x-20=-2\sqrt{11}i$$

수식의 양쪽에 20을(를) 더합니다.

$$x=20+2\sqrt{11}i x=-2\sqrt{11}i+20$$