다음을 풀어보세요: (3x-1)^2-(2x+1)^2=7

$$( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 7$$

x에 대한 해

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx 2.549193338$$

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1\approx -0.549193338$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(3x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

4x^{2}+4x+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

9x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

-6x과(와) -4x을(를) 결합하여 -10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

1에서 1을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$5x^{2}-10x=7$$

양쪽 모두에서 7을(를) 뺍니다.

$$5x^{2}-10x-7=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 5을(를) a로, -10을(를) b로, -7을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-10을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-4에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

-20에 -7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+140}}{2\times 5}$$

100을(를) 140에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{240}}{2\times 5}$$

240의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

-10의 반대는 10입니다.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{2\times 5}$$

2에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}을(를) 풉니다. 10을(를) 4\sqrt{15}에 추가합니다.

$$x=\frac{4\sqrt{15}+10}{10}$$

10+4\sqrt{15}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{10±4\sqrt{15}}{10}을(를) 풉니다. 10에서 4\sqrt{15}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{10-4\sqrt{15}}{10}$$

10-4\sqrt{15}을(를) 10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(3x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9x^{2}-6x+1-\left(2x+1\right)^{2}=7$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9x^{2}-6x+1-\left(4x^{2}+4x+1\right)=7$$

4x^{2}+4x+1의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$9x^{2}-6x+1-4x^{2}-4x-1=7$$

9x^{2}과(와) -4x^{2}을(를) 결합하여 5x^{2}(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-6x+1-4x-1=7$$

-6x과(와) -4x을(를) 결합하여 -10x(을)를 구합니다.

$$5x^{2}-10x+1-1=7$$

1에서 1을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.

$$5x^{2}-10x=7$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{7}{5}$$

5(으)로 나누면 5(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{7}{5}$$

-10을(를) 5(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-2x=\frac{7}{5}$$

x 항의 계수인 -2을(를) 2(으)로 나눠서 -1을(를) 구합니다. 그런 다음 -1의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-2x+1=\frac{7}{5}+1$$

\frac{7}{5}을(를) 1에 추가합니다.

$$x^{2}-2x+1=\frac{12}{5}$$

인수 x^{2}-2x+1. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{12}{5}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{12}{5}}$$

단순화합니다.

$$x-1=\frac{2\sqrt{15}}{5} x-1=-\frac{2\sqrt{15}}{5}$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{15}}{5}+1 x=-\frac{2\sqrt{15}}{5}+1$$