다음을 풀어보세요: (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

r에 대한 해

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2.22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20.22497216$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(3+r\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(15+r\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9과(와) 225을(를) 더하여 234을(를) 구합니다.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r과(와) 30r을(를) 결합하여 36r(을)를 구합니다.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2}과(와) r^{2}을(를) 결합하여 2r^{2}(을)를 구합니다.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18의 2제곱을 계산하여 324을(를) 구합니다.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

양쪽 모두에서 324을(를) 뺍니다.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

234에서 324을(를) 빼고 -90을(를) 구합니다.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 36을(를) b로, -90을(를) c로 치환합니다.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

36을(를) 제곱합니다.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8에 -90을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

1296을(를) 720에 추가합니다.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

2016의 제곱근을 구합니다.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}을(를) 풉니다. -36을(를) 12\sqrt{14}에 추가합니다.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36+12\sqrt{14}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}을(를) 풉니다. -36에서 12\sqrt{14}을(를) 뺍니다.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

-36-12\sqrt{14}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(3+r\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(15+r\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

9과(와) 225을(를) 더하여 234을(를) 구합니다.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

6r과(와) 30r을(를) 결합하여 36r(을)를 구합니다.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

r^{2}과(와) r^{2}을(를) 결합하여 2r^{2}(을)를 구합니다.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

18의 2제곱을 계산하여 324을(를) 구합니다.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

양쪽 모두에서 234을(를) 뺍니다.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

324에서 234을(를) 빼고 90을(를) 구합니다.

$$36r+2r^{2}=90$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2r^{2}+36r=90$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

36을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

90을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$r^{2}+18r=45$$

x 항의 계수인 18을(를) 2(으)로 나눠서 9을(를) 구합니다. 그런 다음 9의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

9을(를) 제곱합니다.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

45을(를) 81에 추가합니다.

$$r^{2}+18r+81=126$$

인수 r^{2}+18r+81. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

단순화합니다.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

수식의 양쪽에서 9을(를) 뺍니다.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$