다음을 풀어보세요: left(x+3right)^3-x^3=279

$${ \left(x+3 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } =279$$

x에 대한 해

$$x=-7$$

$$x=4$$

그룹화를 통한 인수 분해 사용 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}을(를) \left(x+3\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3}과(와) -x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

양쪽 모두에서 279을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

27에서 279을(를) 빼고 -252을(를) 구합니다.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x-28=0$$

수식을 계산하려면 그룹화를 통해 왼쪽을 인수 분해합니다. 우선 왼쪽을 x^{2}+ax+bx-28(으)로 다시 작성해야 합니다. a 및 b를 찾으려면 해결할 시스템을 설정 하세요.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

ab가 음수 이기 때문에 a 및 b에는 반대 기호가 있습니다. a+b이(가) 양수이므로 양수는 음수보다 큰 절대값을 가집니다. 제품 -28을(를) 제공하는 모든 정수 쌍을 나열합니다.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

각 쌍의 합계를 계산합니다.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

이 해답은 합계 3이(가) 도출되는 쌍입니다.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28을(를) \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)(으)로 다시 작성합니다.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

첫 번째 그룹 및 7에서 x를 제한 합니다.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

분배 법칙을 사용하여 공통항 x-4을(를) 인수 분해합니다.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

수식 솔루션을 찾으려면 x-4=0을 해결 하 고, x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

근의 공식을 사용한 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}을(를) \left(x+3\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3}과(와) -x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

양쪽 모두에서 279을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

27에서 279을(를) 빼고 -252을(를) 구합니다.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 9을(를) a로, 27을(를) b로, -252을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

27을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-4에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

-36에 -252을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

729을(를) 9072에 추가합니다.

$$x=\frac{-27±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

9801의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-27±99}{2\times 9}$$

2에 9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-27±99}{18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-27±99}{18}을(를) 풉니다. -27을(를) 99에 추가합니다.

$$x=\frac{72}{18}$$

72을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-27±99}{18}을(를) 풉니다. -27에서 99을(를) 뺍니다.

$$x=-\frac{126}{18}$$

-126을(를) 18(으)로 나눕니다.

$$x=-7$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=4 x=-7$$

제곱 완성 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}을(를) \left(x+3\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

x^{3}과(와) -x^{3}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

양쪽 모두에서 27을(를) 뺍니다.

$$9x^{2}+27x=279-27$$

279에서 27을(를) 빼고 252을(를) 구합니다.

$$9x^{2}+27x=252$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$\frac{9x^{2}+27x}{9}=\frac{252}{9}$$

9(으)로 나누면 9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{27}{9}x=\frac{252}{9}$$

27을(를) 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=\frac{252}{9}$$

252을(를) 9(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+3x=28$$

x 항의 계수인 3을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{3}{2}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{3}{2}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{3}{2}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28을(를) \frac{9}{4}에 추가합니다.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

인수 x^{2}+3x+\frac{9}{4}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$x=4 x=-7$$