다음을 풀어보세요: sqrt{2x+3x^2}=2x^2

$$\sqrt{ 2x+3 { x }^{ 2 } } =2 { x }^{ 2 }$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3} + 2} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{3}}}{2} \approx 1.097911673$$

$$x=0$$

해답 단계

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{2x+3x^{2}}\right)^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

\sqrt{2x+3x^{2}}의 2제곱을 계산하여 2x+3x^{2}을(를) 구합니다.

$$2x+3x^{2}=\left(2x^{2}\right)^{2}$$

\left(2x^{2}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$2x+3x^{2}=2^{2}\left(x^{2}\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$2x+3x^{2}=2^{2}x^{4}$$

2의 2제곱을 계산하여 4을(를) 구합니다.

$$2x+3x^{2}=4x^{4}$$

양쪽 모두에서 4x^{4}을(를) 뺍니다.

$$2x+3x^{2}-4x^{4}=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$-4t^{2}+3t+2=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) -4(으)로, b을(를) 3(으)로, c을(를) 2(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{-4\times 2}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{-3±\sqrt{41}}{-8} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=\frac{3-\sqrt{41}}{8} t=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

x=t^{2} 후에는 양수 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}$$

수식 \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}에서 \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{2\times \frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}+3\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\times \left(\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

단순화합니다. 값이 x=\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 수식을 충족하지 않습니다.

$$\frac{1}{2}\left(2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

수식 \sqrt{2x+3x^{2}}=2x^{2}에서 -\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)+3\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}}=2\left(-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2}\right)^{2}$$

단순화합니다. 값이 x=-\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{41}+3}{2}}}{2} 수식을 충족하지 않습니다.

$$\frac{1}{2}\left(-2\times 2^{\frac{1}{2}}\left(41^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{3}{4}$$

수식 \sqrt{3x^{2}+2x}=2x^{2}에는 솔루션이 없습니다.

$$x\in \emptyset$$