다음을 풀어보세요: sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

x에 대한 해

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

해답 단계

수식의 양쪽에서 -\sqrt{19-x^{2}}을(를) 뺍니다.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}}의 2제곱을 계산하여 15+x^{2}을(를) 구합니다.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{19-x^{2}}의 2제곱을 계산하여 19-x^{2}을(를) 구합니다.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

4과(와) 19을(를) 더하여 23을(를) 구합니다.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

수식의 양쪽에서 23-x^{2}을(를) 뺍니다.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

23-x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

15에서 23을(를) 빼고 -8을(를) 구합니다.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

x^{2}과(와) x^{2}을(를) 결합하여 2x^{2}(을)를 구합니다.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

수식의 양쪽을 모두 제곱합니다.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(-8+2x^{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}을(를) 전개합니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

4의 2제곱을 계산하여 16을(를) 구합니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{19-x^{2}}의 2제곱을 계산하여 19-x^{2}을(를) 구합니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

분배 법칙을 사용하여 16에 19-x^{2}(을)를 곱합니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

양쪽 모두에서 304을(를) 뺍니다.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

64에서 304을(를) 빼고 -240을(를) 구합니다.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

양쪽에 16x^{2}을(를) 더합니다.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

-32x^{2}과(와) 16x^{2}을(를) 결합하여 -16x^{2}(을)를 구합니다.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

x^{2}에 대한 대체 t입니다.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}을(를) 사용하여 해를 찾을 수 있습니다. 근의 공식에서 a을(를) 4(으)로, b을(를) -16(으)로, c을(를) -240(으)로 대체합니다.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

계산을 합니다.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

±이(가) 더하기일 때와 ±이(가) 빼기일 때 t=\frac{16±64}{8} 수식의 해를 찾습니다.

$$t=10 t=-6$$

x=t^{2} 후에는 양수 t에 대한 x=±\sqrt{t}을(를) 평가하여 해답을 얻을 수 있습니다.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

수식 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2에서 \sqrt{10}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

단순화합니다. 값 x=\sqrt{10}은 수식을 만족합니다.

$$2=2$$

수식 \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2에서 -\sqrt{10}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

단순화합니다. 값 x=-\sqrt{10}은 수식을 만족합니다.

$$2=2$$

\sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2의 모든 솔루션을 나열합니다.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$