다음을 풀어보세요: {l}{10x+10y=40}{5x+3y=8}

$$\left. \begin{array}{l}{ 10 x + 10 y = 40 }\\{ 5 x + 3 y = 8 }\end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x+10y=40$$

수식의 양쪽에서 10y을(를) 뺍니다.

$$10x=-10y+40$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(-10y+40\right)$$

\frac{1}{10}에 -10y+40을(를) 곱합니다.

$$x=-y+4$$

다른 수식 5x+3y=8에서 -y+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-y+4\right)+3y=8$$

5에 -y+4을(를) 곱합니다.

$$-5y+20+3y=8$$

-5y을(를) 3y에 추가합니다.

$$-2y+20=8$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$-2y=-12$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

x=-y+4에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-6+4$$

4을(를) -6에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=6$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&10\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10\times 3-10\times 5}&-\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\\-\frac{5}{10\times 3-10\times 5}&\frac{10}{10\times 3-10\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 40+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{4}\times 40-\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\6\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=6$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x+10y=40,5x+3y=8$$

10x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱합니다.

$$5\times 10x+5\times 10y=5\times 40,10\times 5x+10\times 3y=10\times 8$$

단순화합니다.

$$50x+50y=200,50x+30y=80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 50x+50y=200에서 50x+30y=80을(를) 뺍니다.

$$50x-50x+50y-30y=200-80$$

50x을(를) -50x에 추가합니다. 50x 및 -50x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$50y-30y=200-80$$

50y을(를) -30y에 추가합니다.

$$20y=200-80$$

200을(를) -80에 추가합니다.

$$20y=120$$

양쪽을 20(으)로 나눕니다.

$$y=6$$

5x+3y=8에서 y을(를) 6(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+3\times 6=8$$

3에 6을(를) 곱합니다.

$$5x+18=8$$

수식의 양쪽에서 18을(를) 뺍니다.

$$5x=-10$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=6$$