다음을 풀어보세요: {r}{5x+2/3y=-12}{-6x-1/3y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + \frac { 2 } { 3 } y = - 12 } \\ { - 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-4$$

$$y=12$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12$$

수식의 양쪽에서 \frac{2y}{3}을(를) 뺍니다.

$$5x=-\frac{2}{3}y-12$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{2}{3}y-12\right)$$

\frac{1}{5}에 -\frac{2y}{3}-12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}$$

다른 수식 -6x-\frac{1}{3}y=20에서 -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\left(-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}\right)-\frac{1}{3}y=20$$

-6에 -\frac{2y}{15}-\frac{12}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{5}y+\frac{72}{5}-\frac{1}{3}y=20$$

\frac{4y}{5}을(를) -\frac{y}{3}에 추가합니다.

$$\frac{7}{15}y+\frac{72}{5}=20$$

수식의 양쪽에서 \frac{72}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{15}y=\frac{28}{5}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{15}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=12$$

x=-\frac{2}{15}y-\frac{12}{5}에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{15}\times 12-\frac{12}{5}$$

-\frac{2}{15}에 12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8-12}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{12}{5}을(를) -\frac{8}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=12$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&\frac{2}{3}\\-6&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&-\frac{\frac{2}{3}}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}&\frac{5}{5\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{3}\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{18}{7}&\frac{15}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-12\right)-\frac{2}{7}\times 20\\\frac{18}{7}\left(-12\right)+\frac{15}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\12\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-4,y=12$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$5x+\frac{2}{3}y=-12,-6x-\frac{1}{3}y=20$$

5x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱합니다.

$$-6\times 5x-6\times \frac{2}{3}y=-6\left(-12\right),5\left(-6\right)x+5\left(-\frac{1}{3}\right)y=5\times 20$$

단순화합니다.

$$-30x-4y=72,-30x-\frac{5}{3}y=100$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -30x-4y=72에서 -30x-\frac{5}{3}y=100을(를) 뺍니다.

$$-30x+30x-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

-30x을(를) 30x에 추가합니다. -30x 및 30x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y+\frac{5}{3}y=72-100$$

-4y을(를) \frac{5y}{3}에 추가합니다.

$$-\frac{7}{3}y=72-100$$

72을(를) -100에 추가합니다.

$$-\frac{7}{3}y=-28$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=12$$

-6x-\frac{1}{3}y=20에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x-\frac{1}{3}\times 12=20$$

-\frac{1}{3}에 12을(를) 곱합니다.

$$-6x-4=20$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$-6x=24$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=12$$