다음을 풀어보세요: {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=3$$

$$b=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$-2a+3b=0$$

수식의 양쪽에서 3b을(를) 뺍니다.

$$-2a=-3b$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

-\frac{1}{2}에 -3b을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{3}{2}b$$

다른 수식 2a+5b=16에서 \frac{3b}{2}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

2에 \frac{3b}{2}을(를) 곱합니다.

$$3b+5b=16$$

3b을(를) 5b에 추가합니다.

$$8b=16$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

a=\frac{3}{2}b에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

\frac{3}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=3,b=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

-2a 및 2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

단순화합니다.

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -4a+6b=0에서 -4a-10b=-32을(를) 뺍니다.

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

-4a을(를) 4a에 추가합니다. -4a 및 4a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6b+10b=32$$

6b을(를) 10b에 추가합니다.

$$16b=32$$

양쪽을 16(으)로 나눕니다.

$$b=2$$

2a+5b=16에서 b을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a+5\times 2=16$$

5에 2을(를) 곱합니다.

$$2a+10=16$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$2a=6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=3,b=2$$