다음을 풀어보세요: {l}{y=6x}{x+y+y=315.9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x } \\ { x + y + y = 315.9 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=24.3$$

$$y=145.8$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$y-6x=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. y과(와) y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$x+2y=315.9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y-6x=0$$

수식의 양쪽에 6x을(를) 더합니다.

$$y=6x$$

다른 수식 2y+x=315.9에서 6x을(를) y(으)로 치환합니다.

$$2\times 6x+x=315.9$$

2에 6x을(를) 곱합니다.

$$12x+x=315.9$$

12x을(를) x에 추가합니다.

$$13x=315.9$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$x=24.3$$

y=6x에서 x을(를) 24.3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=6\times 24.3$$

6에 24.3을(를) 곱합니다.

$$y=145.8$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=145.8,x=24.3$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$y-6x=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. y과(와) y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$x+2y=315.9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{1-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-6\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{6}{13}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\315.9\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{13}\times 315.9\\\frac{1}{13}\times 315.9\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{729}{5}\\\frac{243}{10}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6x을(를) 뺍니다.

$$y-6x=0$$

두 번째 수식을 검토합니다. y과(와) y을(를) 결합하여 2y(을)를 구합니다.

$$x+2y=315.9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y-6x=0,2y+x=315.9$$

y 및 2y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2y+2\left(-6\right)x=0,2y+x=315.9$$

단순화합니다.

$$2y-12x=0,2y+x=315.9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2y-12x=0에서 2y+x=315.9을(를) 뺍니다.

$$2y-2y-12x-x=-315.9$$

2y을(를) -2y에 추가합니다. 2y 및 -2y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-12x-x=-315.9$$

-12x을(를) -x에 추가합니다.

$$-13x=-315.9$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{243}{10}$$

2y+x=315.9에서 x을(를) \frac{243}{10}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2y+\frac{243}{10}=315.9$$

수식의 양쪽에서 \frac{243}{10}을(를) 뺍니다.

$$2y=\frac{1458}{5}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{729}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{729}{5},x=\frac{243}{10}$$