다음을 풀어보세요: {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=7$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y+2x=13$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$y+2x=13$$

수식의 양쪽에서 2x을(를) 뺍니다.

$$y=-2x+13$$

다른 수식 8y+4x=20에서 -2x+13을(를) y(으)로 치환합니다.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

8에 -2x+13을(를) 곱합니다.

$$-16x+104+4x=20$$

-16x을(를) 4x에 추가합니다.

$$-12x+104=20$$

수식의 양쪽에서 104을(를) 뺍니다.

$$-12x=-84$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

y=-2x+13에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-2\times 7+13$$

-2에 7을(를) 곱합니다.

$$y=-14+13$$

13을(를) -14에 추가합니다.

$$y=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-1,x=7$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y+2x=13$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-1,x=7$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2x을(를) 더합니다.

$$y+2x=13$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

y 및 8y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 8을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

단순화합니다.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8y+16x=104에서 8y+4x=20을(를) 뺍니다.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

8y을(를) -8y에 추가합니다. 8y 및 -8y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$16x-4x=104-20$$

16x을(를) -4x에 추가합니다.

$$12x=104-20$$

104을(를) -20에 추가합니다.

$$12x=84$$

양쪽을 12(으)로 나눕니다.

$$x=7$$

8y+4x=20에서 x을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$8y+4\times 7=20$$

4에 7을(를) 곱합니다.

$$8y+28=20$$

수식의 양쪽에서 28을(를) 뺍니다.

$$8y=-8$$

양쪽을 8(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-1,x=7$$