다음을 풀어보세요: {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=0$$

$$y=-3$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{x}{3}을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

수식의 양쪽 모두에 3을(를) 곱합니다.

$$3y-x=-9$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$3y-x=-9$$

수식의 양쪽에 x을(를) 더합니다.

$$3y=x-9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

\frac{1}{3}에 x-9을(를) 곱합니다.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

다른 수식 y+4x=-3에서 \frac{x}{3}-3을(를) y(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

\frac{x}{3}을(를) 4x에 추가합니다.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$\frac{13}{3}x=0$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$x=0$$

y=\frac{1}{3}x-3에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-3,x=0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{x}{3}을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

수식의 양쪽 모두에 3을(를) 곱합니다.

$$3y-x=-9$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=-3,x=0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 \frac{x}{3}을(를) 뺍니다.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

수식의 양쪽 모두에 3을(를) 곱합니다.

$$3y-x=-9$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

3y 및 y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

단순화합니다.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3y-x=-9에서 3y+12x=-9을(를) 뺍니다.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-x-12x=-9+9$$

-x을(를) -12x에 추가합니다.

$$-13x=-9+9$$

-9을(를) 9에 추가합니다.

$$-13x=0$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$x=0$$

y+4x=-3에서 x을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=-3,x=0$$