다음을 풀어보세요: {l}{x-29z=15}{4x+3z=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 29 z = 15 } \\ { 4 x + 3 z = - 2 } \end{array} \right.$$

x, z에 대한 해

$$x=-\frac{13}{119}\approx -0.109243697$$

$$z=-\frac{62}{119}\approx -0.521008403$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x-29z=15$$

수식의 양쪽에 29z을(를) 더합니다.

$$x=29z+15$$

다른 수식 4x+3z=-2에서 29z+15을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(29z+15\right)+3z=-2$$

4에 29z+15을(를) 곱합니다.

$$116z+60+3z=-2$$

116z을(를) 3z에 추가합니다.

$$119z+60=-2$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$119z=-62$$

양쪽을 119(으)로 나눕니다.

$$z=-\frac{62}{119}$$

x=29z+15에서 z을(를) -\frac{62}{119}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=29\left(-\frac{62}{119}\right)+15$$

29에 -\frac{62}{119}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1798}{119}+15$$

15을(를) -\frac{1798}{119}에 추가합니다.

$$x=-\frac{13}{119}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-29\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-29\times 4\right)}&-\frac{-29}{3-\left(-29\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-29\times 4\right)}&\frac{1}{3-\left(-29\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}&\frac{29}{119}\\-\frac{4}{119}&\frac{1}{119}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{119}\times 15+\frac{29}{119}\left(-2\right)\\-\frac{4}{119}\times 15+\frac{1}{119}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{119}\\-\frac{62}{119}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 z을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x-29z=15,4x+3z=-2$$

x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4x+4\left(-29\right)z=4\times 15,4x+3z=-2$$

단순화합니다.

$$4x-116z=60,4x+3z=-2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x-116z=60에서 4x+3z=-2을(를) 뺍니다.

$$4x-4x-116z-3z=60+2$$

4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-116z-3z=60+2$$

-116z을(를) -3z에 추가합니다.

$$-119z=60+2$$

60을(를) 2에 추가합니다.

$$-119z=62$$

양쪽을 -119(으)로 나눕니다.

$$z=-\frac{62}{119}$$

4x+3z=-2에서 z을(를) -\frac{62}{119}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+3\left(-\frac{62}{119}\right)=-2$$

3에 -\frac{62}{119}을(를) 곱합니다.

$$4x-\frac{186}{119}=-2$$

수식의 양쪽에 \frac{186}{119}을(를) 더합니다.

$$4x=-\frac{52}{119}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{13}{119}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{13}{119},z=-\frac{62}{119}$$