다음을 풀어보세요: {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2b을(를) 더합니다.

$$a+2b=15$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2a을(를) 더합니다.

$$2a-5b+2a=15$$

2a과(와) 2a을(를) 결합하여 4a(을)를 구합니다.

$$4a-5b=15$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+2b=15$$

수식의 양쪽에서 2b을(를) 뺍니다.

$$a=-2b+15$$

다른 수식 4a-5b=15에서 -2b+15을(를) a(으)로 치환합니다.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

4에 -2b+15을(를) 곱합니다.

$$-8b+60-5b=15$$

-8b을(를) -5b에 추가합니다.

$$-13b+60=15$$

수식의 양쪽에서 60을(를) 뺍니다.

$$-13b=-45$$

양쪽을 -13(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{45}{13}$$

a=-2b+15에서 b을(를) \frac{45}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

-2에 \frac{45}{13}을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

15을(를) -\frac{90}{13}에 추가합니다.

$$a=\frac{105}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2b을(를) 더합니다.

$$a+2b=15$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2a을(를) 더합니다.

$$2a-5b+2a=15$$

2a과(와) 2a을(를) 결합하여 4a(을)를 구합니다.

$$4a-5b=15$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2b을(를) 더합니다.

$$a+2b=15$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽에 2a을(를) 더합니다.

$$2a-5b+2a=15$$

2a과(와) 2a을(를) 결합하여 4a(을)를 구합니다.

$$4a-5b=15$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

a 및 4a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

단순화합니다.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4a+8b=60에서 4a-5b=15을(를) 뺍니다.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

4a을(를) -4a에 추가합니다. 4a 및 -4a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8b+5b=60-15$$

8b을(를) 5b에 추가합니다.

$$13b=60-15$$

60을(를) -15에 추가합니다.

$$13b=45$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{45}{13}$$

4a-5b=15에서 b을(를) \frac{45}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

-5에 \frac{45}{13}을(를) 곱합니다.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

수식의 양쪽에 \frac{225}{13}을(를) 더합니다.

$$4a=\frac{420}{13}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{105}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$