다음을 풀어보세요: {l}{a+b=4}{2a-b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a+b=4,2a-b=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a+b=4$$

수식의 양쪽에서 b을(를) 뺍니다.

$$a=-b+4$$

다른 수식 2a-b=1에서 -b+4을(를) a(으)로 치환합니다.

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

2에 -b+4을(를) 곱합니다.

$$-2b+8-b=1$$

-2b을(를) -b에 추가합니다.

$$-3b+8=1$$

수식의 양쪽에서 8을(를) 뺍니다.

$$-3b=-7$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{7}{3}$$

a=-b+4에서 b을(를) \frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

4을(를) -\frac{7}{3}에 추가합니다.

$$a=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a+b=4,2a-b=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$a+b=4,2a-b=1$$

a 및 2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱합니다.

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

단순화합니다.

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2a+2b=8에서 2a-b=1을(를) 뺍니다.

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

2a을(를) -2a에 추가합니다. 2a 및 -2a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2b+b=8-1$$

2b을(를) b에 추가합니다.

$$3b=8-1$$

8을(를) -1에 추가합니다.

$$3b=7$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{7}{3}$$

2a-b=1에서 b을(를) \frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

수식의 양쪽에 \frac{7}{3}을(를) 더합니다.

$$2a=\frac{10}{3}$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{5}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$