다음을 풀어보세요: {l}{9x-4y=11}{x+4y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 11 } \\ { x + 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$9x-4y=11$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$9x=4y+11$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+11\right)$$

\frac{1}{9}에 4y+11을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}$$

다른 수식 x+4y=19에서 \frac{4y+11}{9}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}+4y=19$$

\frac{4y}{9}을(를) 4y에 추가합니다.

$$\frac{40}{9}y+\frac{11}{9}=19$$

수식의 양쪽에서 \frac{11}{9}을(를) 뺍니다.

$$\frac{40}{9}y=\frac{160}{9}$$

수식의 양쪽을 \frac{40}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{11}{9}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{4}{9}\times 4+\frac{11}{9}$$

\frac{4}{9}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{16+11}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{11}{9}을(를) \frac{16}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\times 4-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{40}&\frac{9}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 11+\frac{1}{10}\times 19\\-\frac{1}{40}\times 11+\frac{9}{40}\times 19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9x-4y=11,x+4y=19$$

9x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$9x-4y=11,9x+9\times 4y=9\times 19$$

단순화합니다.

$$9x-4y=11,9x+36y=171$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 9x-4y=11에서 9x+36y=171을(를) 뺍니다.

$$9x-9x-4y-36y=11-171$$

9x을(를) -9x에 추가합니다. 9x 및 -9x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-4y-36y=11-171$$

-4y을(를) -36y에 추가합니다.

$$-40y=11-171$$

11을(를) -171에 추가합니다.

$$-40y=-160$$

양쪽을 -40(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

x+4y=19에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+4\times 4=19$$

4에 4을(를) 곱합니다.

$$x+16=19$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=4$$