다음을 풀어보세요: {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

v, w에 대한 해

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 v을(를) 고립시켜 v에 대한 해를 찾습니다.

$$9v+2w=7$$

수식의 양쪽에서 2w을(를) 뺍니다.

$$9v=-2w+7$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

\frac{1}{9}에 -2w+7을(를) 곱합니다.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

다른 수식 3v-8w=-2에서 \frac{-2w+7}{9}을(를) v(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

3에 \frac{-2w+7}{9}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

-\frac{2w}{3}을(를) -8w에 추가합니다.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

수식의 양쪽에서 \frac{7}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{26}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$w=\frac{1}{2}$$

v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}에서 w을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 v에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{2}{9}에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{7}{9}을(를) -\frac{1}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$v=\frac{2}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 v 및 w을(를) 추출합니다.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

9v 및 3v을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 9을(를) 곱합니다.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 27v+6w=21에서 27v-72w=-18을(를) 뺍니다.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

27v을(를) -27v에 추가합니다. 27v 및 -27v이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6w+72w=21+18$$

6w을(를) 72w에 추가합니다.

$$78w=21+18$$

21을(를) 18에 추가합니다.

$$78w=39$$

양쪽을 78(으)로 나눕니다.

$$w=\frac{1}{2}$$

3v-8w=-2에서 w을(를) \frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 v에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

-8에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$3v-4=-2$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$3v=2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$v=\frac{2}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$